26.09.2020, в 16:22
161

Доска Гальтона – что это такое и зачем она нужна.


Сегодня мы поговорим о Доске Гальтона, которая разработана, ну или по крайней мере названа в честь Френсиса Гальтона. Что мы имеем: небольшую дощечку на которой закреплены множество колышков и каналов. Когда дощечку переворачивают, шарики в хаотичном порядке начинают падать на колышки и дальше распределяются по канальцами. Из-за того, что шариков очень много, мы не можем с точностью сказать куда, и в какой момент времени упадет шарик, но именно такой хаос рождает порядок на Доске Гальтона, а виной всему – нормальное математическое распределение.


Поговорим сначала о колышках. Они расположены в строгом порядке. В первом ряду один колышек, во втором – два, в третьем – три и так далее. Из-за их расположения Доску Гальтона часто называют Quincunx. Вы знакомы с Quincunx если хоть раз держали игральную кость в руках. Это такое расположение точек на заданной территории, в нашем случае, четыре точки по краям квадрата, и ещё одна в центре. И вот, когда шарики в машине Гальтона начинают падать, то первым делом достигают колышек под номером один, далее, они могут «выбрать» куда им пойти влево, или вправо.

доска гальтона, треугольник паскаля

 


Затем им встречается второй ряд колышков , здесь принцип распределения точно такой же, но уже вариантов пути не два, а четыре при шансах выбора 50/50. Поэтому, на каждом из колышков, на всем пути следования шариков, отскок влево и вправо одинокого вероятен, а количество шариков сделавших одинаковое количество поворотов налево и направо большинство, поэтому мы полагаем что основная их часть закончит свой путь практически под точкой начала своего движения и лишь малая часть отклонится от прямой. А получается это благодаря центральной придельной теореме, которая утверждает, что при большом количестве испытаний и большим количеством объектов ( в нашем случае – три тысячи шариков) бинаминальное распределение приближается к нормальному, что вы видите на рисунке ниже.

доска гальтона, треугольник паскаля

 

 


Треугольник Паскаля


Но Доска Гальтона демонстрирует не только центральную предельную теорему, она имеет ещё множество особенностей, давайте снова взглянем на колышки. Мы видим гексогенную черепицу с номерами, а это - Треугольник Паскаля. Вы без труда можете построить его сами. Основное правило для заполнения этого треугольника – для заполнения строчки ниже вы суммируете два числа сверху слева и два числа сверху справа.

доска гальтона, треугольник паскаля

 


Треугольника Паскаля показывает множество удивительных вещей, первая из них, ячейки обозначают колышки на Доске Гальтона, а цифры внутри, количество вариантов путей для выбора. И чем ниже опускается шарик, тем больше уникальных путей у него возникает (1,2,3,6..). Но центральный путь всегда обеспечен большим количеством уникальных путей, именно поэтому основная масса шариков всегда будет падать по центру. Вторая особенность Треугольника Паскаля – возведение двучлена в любую степень. Сейчас поясню. Все мы в школе видели такую формулу:

доска гальтона, треугольник паскаля, пример, формула

 


И если возвести двучлен (х+у) в квадрат то получим следующее: Х в квадрате + 2ХУ+ У в квадрате. Вспоминая треугольник Паскаля, а именно второй ряд который содержит последовательность 1-2-1, а теперь посмотрим на наш получившийся ответ. Именно такие коэффициенты и получились у нас в ответе. Благодаря ему можно возводить все двучлены в совершенно любую степень, главное что бы у вас был под рукой треугольник Паскаля. И так, в конце дня доска Гальтона это почти расслабляющее напоминание о том, что даже из хаоса, случайности и непредсказуемости приходит порядок при достаточном количестве попыток или объектов испытаний. Таким образом, это значит, что даже если наша вселенная полна непредсказуемости и набором случайных событий, особенно на квантовом уровне, большие вещи в роде нас с вами, стабильны и предсказуемы.


Всего комментариев: 0
avatar